平面直角坐标系xOy中,第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场,第Ⅲ现象存在沿y轴负方向的匀强电场,如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动,Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入电场,最终从x轴上的P点射出磁场,P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力,为:
(1)粒子到达O点时速度的大小和方向;
(2)电场强度和磁感应强度的大小之比。
(1)在电场中,粒子做类平抛运动,设Q点到x轴的距离为L,到y轴的距离为2L,粒子的加速度为a,运动时间为t,有
①
②
设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为vy
vy= at③
设粒子到达O点时速度方向与x轴方向的夹角为α,有
④
联立①②③④式得
α=45° ⑤
即粒子到达O点时速度方向与x轴方向的夹角为45°角斜向上。
设粒子到达O点时的速度大小为v,由运动的合成有
⑥
联立①②③⑥式得
(2)设电场强度为E,粒子电荷量为q,质量为m,粒子在电场中受到的电场力为F,由牛顿第二定律可得
F=ma ⑧
又F=qE ⑨
设磁场的磁感应强度大小为B,粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R,所受的洛伦兹力提供向心力,有⑩
由几何关系可知
⑪
联立①②⑦⑧⑨⑩⑪式得
⑫
电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度,其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图,图中直流电源电动势为E,电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l,电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN,垂直放在两导轨间处于静止状态,并与导轨良好接触。首先开关S接1,使电容器完全充电。然后将S接至2,导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出),MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时,回路中电流为零,MN达到最大速度,之后离开导轨。问:
(1)磁场的方向;
(2)MN刚开始运动时加速度a的大小;
(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少。
(1)垂直于导轨平面向下。
(2)电容器完全充电后,两极板间电压为E,当开关S接2时,电容器放电,设刚放电时流经MN的电流为I,有
①
设MN受到的安培力为F,有
F=IlB②
由牛顿第二定律有
F=ma③
联立①②③式得
④
(3)当电容器充电完毕时,设电容器上电量为Q0,有
Q0=CE⑤
开关S接2后,MN开始向右加速运动,速度达到最大值vmax时,设MN上的感应电动势为,有
⑥
依题意有
⑦
设在此过程中MN的平均电流为,MN上受到的平均安培力为,有
⑧
由动量定理,有
⑨
又
⑩
联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得
⑪
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