中国 “ 人造太阳 ” 在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系 中， 空间内充满匀强磁场 I ，磁感应强度大小为 B ，方向沿 x 轴正方向； ， 的空间内充满匀强磁场 II ，磁感应强度大小为 ，方向平行于 平面，与 x 轴正方向夹角为 ； ， 的空间内充满沿 y 轴负方向的匀强电场。质量为 m 、带电量为 的离子甲，从 平面第三象限内距 轴为 的点 以一定速度出射，速度方向与 轴正方向夹角为 ，在 平面内运动一段时间后，经坐标原点 沿 轴正方向进入磁场 I 。不计离子重力。

（ 1 ）当离子甲从 点出射速度为 时，求电场强度的大小 ；

（ 2 ）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度 ；

（ 3 ）离子甲以 的速度从 点沿 轴正方向第一次穿过 面进入磁场 I ，求第四次穿过 平面的位置坐标（用 d 表示）；

（ 4 ）当离子甲以 的速度从 点进入磁场 I 时，质量为 、带电量为 的离子乙，也从 点沿 轴正方向以相同的动能同时进入磁场 I ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差 （忽略离子间相互作用）。

答案

（ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ）（ d ， d ， ）；（ 4 ）

【详解】（ 1 ）如图所示

将离子甲从 点出射速度为 分解到沿 轴方向和 轴方向，离子受到的电场力沿 轴负方向，可知离子沿 轴方向做匀速直线运动，沿 轴方向做匀减速直线运动，从 到 的过程，有

联立解得

（ 2 ）离子从坐标原点 沿 轴正方向进入磁场 I 中，在磁场 I 中做匀速圆周运动，经过磁场 I 偏转后从 轴进入磁场 II 中，继续做匀速圆周运动，如图所示

由洛伦兹力提供向心力可得

，

可得

为了使离子在磁场中运动，则离子磁场 I 运动时，不能从磁场 I 上方穿出。在磁场 II 运动时，不能 xOz 平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足

，

联立可得

要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为 ；

（ 3 ）离子甲以 的速度从 点沿 z 轴正方向第一次穿过 面进入磁场 I ，离子在磁场 I 中的轨迹半径为

离子在磁场 II 中的轨迹半径为

离子从 点第一次穿过到第四次穿过 平面的运动情景，如图所示

离子第四次穿过 平面的 坐标为

离子第四次穿过 平面的 坐标为

故离子第四次穿过 平面的位置坐标为（ d ， d ， ）。

（ 4 ）设离子乙的速度为 ，根据离子甲、乙动能相同，可得

可得

离子甲、离子乙在磁场 I 中的轨迹半径分别为

，

离子甲、离子乙在磁场 II 中的轨迹半径分别为

，

根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过 x 轴的位置，如图所示

从 点进入磁场到第一个交点的过程，有

可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为