我们已经学过了关于两个质点之间万有引力的大小是:F=.但是,在某些特殊情况下,非质点之间的万有引力计算及其应用的问题,我们可以利用下面两个已经被严格证明是正确的结论,而获得快速有效地解决:
a.若质点m放置在质量分布均匀的大球壳M(球壳的厚度也均匀)的空腔之内,那么m和M之间的万有引力总是为零.
b.若质点m放置在质量分布均匀的大球体M之外(r≥r0),那么它们之间的万有引力为:F=,式中的r为质点m到球心之间的距离; r0为大球体的半径.
假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体,通过地球的南北两极之间能够打通一个如图所示的真空小洞.若地球的半径为R,万有引力常数为G,把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后,小球能够在洞内运动.
(1)求:小球运动到距地心为0.5R处的加速度大小a;
(2)证明:小球在洞内做简谐运动;
(3)求:小球在运动过程中的最大速度vm.
(1) (2) 做简谐运动(3)
【详解】
解:(1)根据题意可知,小球距离地心为r=0.5R处万有引力大小
又
由牛顿第二定律可知
三式联立可得:
(2)假设小球相对于球心的位移是x,则有:
又
两式联立可得:
考虑万有引力F的方向总是指向地心,即F的方向和小球相对于地心的位移x的方向总是方向相反的, 若令 :
则有:
结论:小球在洞内做简谐振动.
(3) 由可知,从洞口到地心,小球的万有引力大小F是随着做功的距离线性减少的
所以
所以
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。以地球的质量的计算为例
①若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r,根据:
,得:;
②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r,根据:
,得:;
③若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T,根据:
和,得:;
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g,根据:
,得:——此式通常被称为黄金代换式。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
天体球体积:V=;天体密度:(由,,,r指球体半径,R指轨道半径,当R=r时,)。
登录并加入会员可无限制查看知识点解析