如图所示， “L” 型平板 B 静置在地面上，小物块 A 处于平板 B 上的 点，
点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为 M 的小球悬挂在
点正上方的 O 点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块 A 发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于
）， A 以速度
沿平板滑动直至与 B 右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后， A 返回到 O 点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知 A 的质量
， B 的质量
， A 与 B 的动摩擦因数
， B 与地面间的动摩擦因数
，取重力加速度
。整个过程中 A 始终在 B 上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求：
（ 1 ） A 与 B 的挡板碰撞后，二者的速度大小 与
；
（ 2 ） B 光滑部分的长度 d ；
（ 3 ）运动过程中 A 对 B 的摩擦力所做的功 ；
（ 4 ）实现上述运动过程， 的取值范围（结果用
表示）。
答案
（ 1 ） ，
；（ 2 ）
；（ 3 ）
；（ 4 ）
【详解】（ 1 ）设水平向右为正方向，因为 点右侧光滑，由题意可知 A 与 B 发生弹性碰撞，故碰撞过程根据动量守恒和能量守恒有
代入数据联立解得
，（方向水平向左）
，（方向水平向右）
即 A 和 B 速度的大小分别为 ，
。
（ 2 ）如图所示为 A 与 B 挡板碰撞后到运动至 O 点正下方的运动示意图
A 回到 前， A 在 B 上匀速直线运动的时间设为
。 A 的位移大小
对平板 B ，由牛顿第二定律得
对平板 B ，由运动学公式有
由几何关系
①
A 从 回到 O 点正下方设时间为
， A 在 B 上做匀减速直线运动，设 A 的加速度大小为
，由牛顿第二定律得
解得
A 返回到 O 点的正下方时，相对于地面的速度减为零，则
时间内 A 相对于地面的位移大小
由几何关系
②
联立解得
或
，
由 ①② 可得
与
等大
分析可知， A 回到 O 点正下方时 B 未减速为 0 ，故
舍去。综上解得
（ 3 ）在 A 刚开始减速时， B 物体的速度为
在 A 减速过程中，对 B 分析根据牛顿运动定律可知
解得
B 物体停下来的时间为 t 3 ，则有
解得
可知在 A 减速过程中 B 先停下来了，此过程中 B 的位移为
所以 A 对 B 的摩擦力所做的功为
（ 4 ）小球和 A 碰撞后 A 做匀速直线运动再和 B 相碰，此过程有
由题意可知 A 返回到 O 点的正下方时，小球恰好第一次上升到最高点，设小球做简谐振动的周期为 T ，摆长为 L ，则有
由单摆周期公式 解得，小球到悬挂点 O 点的距离
小球下滑过程根据动能定理有
当碰后小球摆角恰为 5° 时，有
解得
，
小球与 A 碰撞过程根据动量守恒定律有
小球与 A 碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于 ），则要求
故要实现这个过程的范围为
