有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图乙所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道．(已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R0)

(1)如图甲所示，一个质量为m的物体(可视为质点)在一个质量均匀分布的大球(半径为R，密度为ρ)的内部距球心r处，那么m与大球之间的万有引力就是F＝，式中M′是以r为半径的球体的质量．试根据所给条件求出物体m所受到的万有引力多大？

(2)如图乙所示，是在地球上距地心h处沿一条弦挖了一条光滑的通道AB，从A点处静止释放一个质量为m的物体，物体下落到通道中点O′处的速度多大？

(3)如果在A处释放一个质量很大的物体M，在B处同时释放一个质量远小于M的物体，同时达到O′处发生弹性正碰(由于大物体质量很大，可以认为碰后速度不变)，那么小物体返回从B飞出，为使飞出的速度达到地球的第一宇宙速度，h应为多大？

答案

(1) F＝πGmr   (2) v＝ (3)

【解析】

(1)M′＝πr³ρ，所以Fr＝πρGmr

(2)设地球的密度为ρ₀，距O′为x处时，到地心的距离为r＝，所受地球的引力为F＝πρ₀Gmr，其沿AB的分力为f＝Fsin θ，而sin θ＝，所以f＝πρ₀Gmx，则f与到O′的距离x成正比，最大的f_m＝πρ₀Gm

最小的f_min＝0，所以关于f的功可以利用它的平均值进行计算．则f对物体做了正功，大小为：W＝f_m＝πρ₀Gm(R₀²－h²)

根据动能定理有：mv²＝W

所以达O′处的速度为：

又mg＝G，所以g＝πGρ₀R₀

所以W＝，v＝

(3)由题知，碰后小物体的速度为v′＝3v，根据动能定理有：－W＝mv₁²－mv′²

v₁＝＝

所以