例1. 已知方程有实数根，求m的取值范围。

分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。

解：（1）当，即，方程为一元一次方程，有实数根；

（2）当，即时，方程为二次方程。由有实根的条件得：

所以，且

综合（1）、（2），得：

评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。

例2. 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数。

解析：由于给出的关于x的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即。又由于方程均有实数根，所以

解得：

又

解得：

所以

又m是整数，且，且或1

当时，方程为，解得方程的根为，它的根不是整数，故舍去。

当时，方程的根为，方程根为，均为整数，所以。

评注：本例是根据方程的根是否为整数进行分类讨论。

例3. 已知关于x的方程：

（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。

（2）若这个方程的两个实数根满足，求m的值及相应的。

解：（1）

所以不论m取何值，总有

所以，即

所以方程总有两个相异的实根。

（2）因为

所以或

①若，则

所以

所以

此时

所以

②若，则

所以

所以，此时

所以

评注：本例是根据方程根的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。

例4. 若实数a、b满足，求的值。

解：由方程根的定义，知a、b是方程的两个根

所以

所以

事实上，题设中的a与b是可以相等的，当时，原式＝2

综上所述：当时，原式，当时原式＝2

评注：本例是根据方程的根是否相等进行分类讨论。