解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密 切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等。首先要明确解直角三角形的依据和思路：在直角 三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数的定义。因此，锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础。每 个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。

例1. 如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且，求AB的长。

图1

思路1：所求AB是的斜边，但在中只知一个锐角A等于，暂不可解。而在中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解入手。

解法1：在中，因，且，AE＝1

故

在中，由，得

在中，由，得

思路2：观察图形可知，CD、DE分别是和斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。

解法2：同解法1得

在中，由，得

在中，由，得

点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。

例2. 如图2，在中，，AD是BC边上的中线。

（1）若，，求AD的长。

（2）若，求证：

图2

分析：（1）由AD是BC边上的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在中求解AD。而在中，由已知BC边和可以先求出AC，从而使可解。

（2）和分别为和中的锐角，且都以直角边AC为对边，抓住图形的这个特征，根据锐角三角函数可以证明

解：（1）在中，，

在中，

（2）证明：在中，由，，得

在中，由，

得

故，又因BC＝2DC，故

点拔：在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形，如图2，它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现出许多不同的解直角三角形问题。

例3. 如图3，在中，，AD是的平分线。

（1）若，求

（2）在（1）的条件下，若BD＝4，求

图3

分析：在（1）中已知AD是的平分线，又知AB、BD这两条线段的比为，应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到中，先求出即可求得。

解：（1）由AD是的平分线，得，即

在中，由，得

，

（2）由，得

由，得。又

点拨：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，从而找到解决问题的突破口。

例4. 如图4，在中，，D为BC上一点，，，BD＝1，求AB。

图4

分析：已知的角告诉我们，和都是特殊的直角三角形，抓住这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解

解：在中，设，由，可知，得，

在中，由，BD＝1，，得

得

点拨：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方程，还要熟练地掌握特殊锐角的三角函数值，以使解答过程的表述简便。

训练题：

如图5，在中，D、F分别在AC、BC上，且，，，求AC。

图5

（提示：是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC又为所求，已知的另外两边都在中，且，即是等腰三角形，因此，可以过D作，从而找到解题思路。由于DE、AF同垂直于BC，可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC）