排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

1相邻问题捆绑法:

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例. 五人并排站成一排，如果必须相邻且 在的右边，那么不同的排法种数有

（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

解析：把视为一人，且 固定在 的右边，则本题相当于4人的全排列， 种，答案： .

2.相离问题插空排:

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有 种，不同的排法种数是 种，选 .

3.定序问题缩倍法:

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（ 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

解析： 在的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 种，选 .

4.标号排位问题分步法:

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）

A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选 .

5.有序分配问题逐分法:

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种

解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有 种，选 .

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）

A、种 B、 种 C、 种 D、 种

答案： .

6.全员分配问题分组法:

分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配

例.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

解析：把四名学生分成3组有 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 种，故共有种方法.

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

A、480种 B、240种 C、120种 D、96种

答案： .

7.名额分配问题隔板法:

例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 种.

8.限制条件的分配问题分类法:

例.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有 方法，所以共有 ；③若乙参加而甲不参加同理也有种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有 种，共有 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 种.

9.多元问题分类法：

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

例（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）

A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有 个，

个，合并总计300个,选 .

（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做 共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有 ，从中任取一个，又从 中任取一个共有 ，两种情形共符合要求的取法有 种.

（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

解析：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集 ；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集 ，能被4除余3的数集 ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从 中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.

10.交叉问题集合法：

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式

.

例.从6名运动员中选出4人参加4× 100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

种.

11.定位问题优先法：

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

解析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有 种方法；所以共有 种。.

12.多排问题单排法:

把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）

A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种

解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共 种，选 .

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有 种，其余5个元素任排5个位置上有 种，故共有 种排法.

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

例.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）

A、140种 B、80种 C、70种 D、35种

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.

解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有 台,选 .

14.选排问题先取后排法:

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

例.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有 种，故共有 种.

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

解析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有 中排法，故共有种.

15.部分合条件问题排除法:

在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.

例.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）

A、70种 B、64种 C、58种 D、52种

解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）

A、150种 B、147种 C、144种 D、141种

解析：10个点中任取4个点共有 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是 种.

16.圆排问题单排法:

把 个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：

在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有 种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.

例.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式 种不同站法.

说明：从个不同元素中取出 个元素作圆形排列共有 种不同排法.

17.可重复的排列求幂法:

允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有 种方法.

例.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.

18.复杂排列组合问题构造模型法:

一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.

例.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

解析：从5个球中取出2个与盒子对号有 种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为 种.

20.复杂的排列组合问题可用分解与合成法:

例.（1）30030能被多少个不同偶数整除？

解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为

个.

（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.

21.利用对应思想转化法:

对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？

解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有 个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.

（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 到 的最短路径有多少种？

解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从到 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有 种.

22：用数列思想解四个小题型

题型一.走楼梯问题

例1：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )

（A）34种 （B）55种 （C）89种 （D）144种

解法：递推法：

设走 级有种走法，这些走法可按第一步来分类，

第一类：第一步是一步一级，则余下的 级有种走法；

第二类：第一步是一步两级，则余下的 级有种走法，

于是可得递推关系式 ，又易得 ，由递推可得，故选(C)。

题型二.更列问题

例：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有多少种？

解析：首先我们把人数推广到 个人，即个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上。设满足这样的站队方式有 种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：

第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有种站法。

第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的个人有种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，……，第个人不站在第个位置，所以有 种站队方式。

由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列的递推关系式：

，显然， ，再由递推关系有 ，

，故共有44种.

题型三.染色问题

例：用4种不同颜色涂四边形的4个顶点，要求每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，求不同的染色方法种数。

解析：我们先把这个题目推广：用种不同颜色给 边形 的 个顶点染色(其中 ，且为常数)，每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，不同的染色方法有多少种？

设不同的染色方法有种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系：

第一步：染 ，有种染法；

第二步：染 ，有种染法；

同理，染 均有种染法，最后染 ，如果仅考虑 与 不同色，则仍有 种染法，相乘得 种染法，但要去掉 与 同色的染法数，此时可将 与合并看成一个点，得出需要排除的染法数为，所以有 ，显然， 。

又本题中，颜色数，所以递推关系为： ，又 ，所以 （种），故不同的染色方法种数有84种。

题型四.传球问题

例：甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁中的任一人，第二次由拿球者再传给其他人中任一人，这样共传了四次，求第四次球仍传回到甲的方法种数。

解析：先把这个题目进行推广： 个人相互进行次传球，由甲先传，第一次甲传给其他 个人中的任一人，第二次由拿球者再传给其他人中任一人，这样经过次传球，最后球仍回到甲手中的传球方法有多少种？(这里 为常数)

设不同的传球方法共有种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：

第一步进行第一次传球：甲传给其他人，有种传球方法；

第二步进行第二次传球：拿球者把球传给其他人，仍有种传球方法；

同理，第三次、第四次、……、第 次传球都有种传球方法，最后进行第 次传球，由于只能传给甲，故只有一次传球方法，相乘得 种传球方法，但要注意第 次传球不能传给甲，否则就不存在第次传球，因此要去掉第次传球，球恰好传给甲的传球方法数，这就是由甲先传，经过 次传球后球又回到甲手中的传球方法，显然，这里有种传球方法，所以有递推关系： ，又易得 。

而在本题中， ，所以 ，所以由递推可得，，

，故第四次球仍传回到甲的方法种数共有21种。