离子速度分析器截面图如图所示。半径为 R 的空心转筒 P ，可绕过 O 点、垂直 xOy 平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔 S 。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板 Q ，板 Q 与 y 轴交于 A 点。离子源 M 能沿着 x 轴射出质量为 m 、电荷量为 – q （ q > 0 ）、速度大小不同的离子，其中速度大小为 v ₀ 的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿 y 轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。

（ 1 ） ① 求磁感应强度 B 的大小；

② 若速度大小为 v ₀ 的离子能打在板 Q 的 A 处，求转筒 P 角速度 ω 的大小；

（ 2 ）较长时间后，转筒 P 每转一周有 N 个离子打在板 Q 的 C 处， OC 与 x 轴负方向的夹角为 θ ，求转筒转动一周的时间内， C 处受到平均冲力 F 的大小；

（ 3 ）若转筒 P 的角速度小于 ，且 A 处探测到离子，求板 Q 上能探测到离子的其他 θ ′ 的值（ θ′ 为探测点位置和 O 点连线与 x 轴负方向的夹角）。

答案

（ 1 ） ① ， ② ， k = 0 ， 1 ， 2 ， 3… ；（ 2 ） ， n = 0 ， 1 ， 2 ， … ；（ 3 ） ， ，

【详解】（ 1 ） ① 离子在磁场中做圆周运动有

则

② 离子在磁场中的运动时间

转筒的转动角度

， k = 0 ， 1 ， 2 ， 3…

（ 2 ）设速度大小为 v 的离子在磁场中圆周运动半径为 ，有

离子在磁场中的运动时间

转筒的转动角度

ω ′ t ′ = 2nπ + θ

转筒的转动角速度

， n = 0 ， 1 ， 2 ， …

动量定理

， n = 0 ， 1 ， 2 ， …

（ 3 ）转筒的转动角速度

其中

k = 1 ， ， n = 0 ， 2 或者

可得

， ，