如图甲所示，在 Oxyz 坐标系内，一个长方体空间被竖直平面 MNPQ 划分成两个区域，左侧区域存在着平行于 x 轴、周期性变化的电场，取电场方向沿 z 轴正方向为正，其场强随时间的变化规律如图乙所示（ T ₀ 为未知量）：右侧区域存在着方向沿 z 轴正方向的匀强磁场。一质量为 m 、电荷量为 q 的带正电粒子（重力不计）由静止开始经过粒子加速器加速后， t =0 时刻从坐标轴 处沿 x 轴正方向以速度 v ₀ 进人电场，该粒子进入电场区域后恰好经过 N （ N 为整数）个周期后到达平面 MNPQ ，并穿过磁场区域。

（ 1 ）求粒子加速器的加速电压为多少；

（ 2 ）求该粒子经过平面 MNPQ 时的位置；

（ 3 ）若粒子经过磁场区域后，从 QGHM 平面内射出，求该磁场的磁感应强度的范围。

答案

（ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ）

【解析】

【分析】

根据题中物理情景描述可知，本题考查复合场问题，根据带电粒子在电场和磁场中运动的规律，运用动能定理、运动学公式、牛顿第二定律、电场力和洛伦兹力公式等，进行求解。

【详解】

（ 1 ）该粒子经过粒子加速器，由动能定理得

可得

（ 2 ）该粒子进入电场区域后，由于电场沿着 z 轴，该粒子仅在竖直平面做匀加速直线运动

则沿 x 方向有

沿 z 方向有

又

可得到达 MNPQ 平面上

处，其三维坐标为

由于粒子必须打到 MNPQ 平面上， ，则周期个数必须是满足

的整数

（ 3 ）粒子经整数个周期的运动，离开电场进入磁场，进入磁场时的速度仍为 。根据左手定则可知，粒子的运动轨迹是在经射入磁场位置的某 xOy 平面内，该平面沿 z 轴负方向的俯视图如图所示

粒子进入磁场，由洛伦兹力提供向心力得

可得

粒子从 QM 之间的某点 d 射出时，磁场的磁感应强度最大，由几何关系可知

磁感应强度

粒子从 GH 之间的某点 c 射出时，磁场的磁感应强度最小，由几何关系可知

解得

磁感应强度

则磁场的磁感应强度的范围为