如图所示，直角坐标系 xOy 的第二象限内有一垂直纸面向外的匀强磁场（磁感应强度 B ₁ ＝ B ₀ ）和竖直向上的匀强电场（场强 E ₁ 大小未知），第一象限内有一垂直纸面向外的匀强磁场（磁感应强度为 B ₂ ）和竖直向上的匀强电场（场强为 E ₂ ，且 E ₂ ＝ ），第四象限内有水平向左的匀强电场（场强为 E ₃ ，且 E ₃ ＝ E ₂ ）。现有一比荷为 ＝ k 的带正电小球从第二象限内的 A 点（－ h ， h ）以一定初速度水平向右射出，小球沿直线运动，小球进入第一象限后恰好做匀速圆周运动，并从 x 轴上的 C 点与 x 轴正方向成 60° 角进入第四象限内运动，最终通过 C 点正下方的 D 点，已知重力加速度为 g ，求：

（ 1 ）小球的初速度 v ₀ 及电场强度 E ₁ 的大小；

（ 2 ）第一象限内磁感应强度 B ₂ 的大小；

（ 3 ） C 、 D 连线的长度 L ；

（ 4 ）小球从 A 点运动到 D 点所经历的时间 t 。

答案

（ 1 ） ， ；（ 2 ） ；（ 3 ） ；（ 4 ）

【解析】

【详解】

（ 1 ）因小球在第二象限内受竖直向下的重力、洛伦兹力和竖直向上的电场力作用沿直线运动，所以一定有

B ₀ qv ₀ ＋ mg ＝ qE ₁

小球在第一象限内做匀速圆周运动，所以必有

qE ₂ ＝ mg

qv ₀ B ₂ ＝ m

由题知

E ₂ ＝

联立解得

E ₁ ＝ ＝

v ₀ ＝ ＝

（ 2 ）小球运动轨迹如图所示

由图知小球在第一象限内运动半径 R 满足

h ＋ R sin 30° ＝ R

即

R ＝ 2 h

由（ 1 ）知

B ₂ ＝

解得

B ₂ ＝ 。

（ 3 ）在第四象限内，因

qE ₃ ＝ qE ₂ ＝ mg

合力大小为

方向恰好与 CD 成 60° 角，即小球从 C 到 D 做类平抛运动，由类平抛运动规律知

L sin 30° ＝ ·

L cos 30° ＝ v ₀ t ₃

联立得

L ＝

t ₃ ＝ 。

（ 4 ）小球在第二象限内运动时间

t ₁ ＝ ＝

小球在第一象限内运动时间

t ₂ ＝ ＝ ＝

小球从 A 点运动到 D 点所经历的时间