霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为 a 、宽为 b 、长为 c ，以长方体三边为坐标轴建立坐标系 ，如图所示。半导体中有电荷量均为 e 的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为 n 和 p 。当半导体材料通有沿 方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为 B ，沿 方向，于是在 z 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为 E ，沿 方向。

（ 1 ）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；

（ 2 ）若自由电子定向移动在沿 方向上形成的电流为 ，求单个自由电子由于定向移动在 z 方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小 ；

（ 3 ）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在 z 方向定向移动的速率介别为 、 ，求 时间内运动到半导体 z 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在 z 方向上形成的电流应满足的条件。

答案

（ 1 ）自由电子受到的洛伦兹力沿 方向；（ 2 ） ；（ 3 ）见解析所示

【详解】

（ 1 ）自由电子受到的洛伦兹力沿 方向；

（ 2 ）设 t 时间内流过半导体垂直于 x 轴某一横截面自由电子的电荷量为 q ，由电流定义式，有

设自由电子在 x 方向上定向移动速率为 ，可导出自由电子的电流微观表达式为

单个自由电子所受洛伦兹力大小为

霍尔电场力大小为

自由电子在 z 方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立得其合力大小为

（ 3 ）设 时间内在 z 方向上运动到半导体上表面的自由电子数为 、空穴数为 ，则

霍尔电场建立后，半导体 z 方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则应

即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在 z 方向形成的电流应大小相等、方向相反。