宇航员耿耿驾驶宇宙飞船成功登上 “NNSZ” 行星后,在行星表面做了如下实验:将一根长为 L 的轻绳,一端固定在过 O 点的水平转轴上,另一端固定一质量为 m 的小球,使整个装置绕 O 点在竖直面内转动。在小球转动过程中的最高点处放置一光电门,在绳子上适当位置安装一个力的传感器,如图甲,实验中记录小球通过光电门的时间以确定小球在最高点的速度 v ,同时记录传感器上绳子的拉力大小 F ,即可作出小球在最高点处绳子对小球的拉力与其速度平方的关系图,如图乙;已知行星半径为 R ,引力常量为 G ,不考虑行星自转影响。
( 1 )结合实验和图象所给信息,写出小球在最高点处 F 与 v 的关系式;
( 2 )请求出该行星的第一宇宙速度(用 b , L , R 表示);
( 3 )请求出该行星的密度(用 b , L , R , G 表示)。
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
【解析】
( 1 )对小球,在最高点,有:
得:
( 2 )由图象信息可知:
即该行星表面重力加速度:
对该行星近地卫星,匀速圆周运动,有 :
对行星表面物,有:
得
( 3 )对行星表面物,有:
得:
而
联立得
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。以地球的质量的计算为例
①若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r,根据:
,得:;
②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r,根据:
,得:;
③若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T,根据:
和,得:;
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g,根据:
,得:——此式通常被称为黄金代换式。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
天体球体积:V=;天体密度:(由,,,r指球体半径,R指轨道半径,当R=r时,)。
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