据每日邮报 2014 年 4 月 18 日报道,美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现 “ 类地 ” 行星 假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星,进行科学观测:该行星自转周期为 T ;宇航员在该行星 “ 北极 ” 距该行星地面附近 h 处自由释放 个小球 引力视为恒力 ,落地时间为 已知该行星半径为 R ,万有引力常量为 G ,求:
该行星的第一宇宙速度;
该行星的平均密度.
.
【解析】
根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度,再根据万有引力提供圆周运动向心力,求出质量与运动的周期,再利用 ,从而即可求解.
【详解】
根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度
解得:
则由
求得:星球的第一宇宙速度 ,
由
有:
所以星球的密度
【点睛】
本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度,再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解.
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。以地球的质量的计算为例
①若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r,根据:
,得:;
②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r,根据:
,得:;
③若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T,根据:
和,得:;
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g,根据:
,得:——此式通常被称为黄金代换式。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
天体球体积:V=;天体密度:(由,,,r指球体半径,R指轨道半径,当R=r时,)。
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