中国自行研制,具有完全自主知识产权的 “神舟号”飞船,目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术,其发射过程简化如下:飞船在酒泉卫星发射中心发射,由长征运载火箭送入近地点为 A 、远地点为 B 的椭圆轨道上, A 点距地面的高度为 h 1 ,飞船飞行五周后进行变轨,进入预定圆轨道,如图所示,设飞船在预定圆轨道上飞行 n 圈所用时间为 t ,若已知地球表面重力加速度为 g ,地球半径为 R ,求:
(1) 地球的平均密度是多少;
(2) 飞船经过椭圆轨道近地点 A 时的加速度大小;
(3) 椭圆轨道远地点 B 距地面的高度 h 2 .
(1) (2) (3)
【详解】
(1) 根据质量、密度、体积间的关系可知,地球的质量为:
--- ①
在地球表面附近,万有引力与重力近似相等,有:
---- ②
由 ①②式联立解得:地球的平均密度
(2) 根据牛顿第二定律有:
---- ③
由 ②③式联立解得,飞船经过椭圆轨道近地点 A 时的加速度大小为:
(3) 飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力,有:
--- ④
由题意可知,飞船在预定圆轨道上运行的周期为:
---- ⑤
由 ②④⑤式联立解得,椭圆轨道远地点 B 距地面的高度为:
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。以地球的质量的计算为例
①若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r,根据:
,得:;
②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r,根据:
,得:;
③若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T,根据:
和,得:;
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g,根据:
,得:——此式通常被称为黄金代换式。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
天体球体积:V=;天体密度:(由,,,r指球体半径,R指轨道半径,当R=r时,)。
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