开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立．如图，嫦娥三号探月卫星在半径为 r 的圆形轨道 Ⅰ上绕月球运行，周期为 T ．月球的半径为 R ，引力常量为 G ．某时刻嫦娥三号卫星在 A 点变轨进入椭圆轨道 Ⅱ，在月球表面的 B 点着陆． A、O、B 三点在一条直线上．求：

（ 1） 月球的密度；

（ 2） 在轨道 Ⅱ上运行的时间．

答案

(1) (2)

【分析】

本题考查中心天体质量和密度的计算及开普勒第三定律的应用．

【详解】

(1) 设月球的质量为 M ，卫星的质量为 m， 对卫星受力分析可得

月球的密度

联立解得：

(2) 椭圆轨道的半长轴

设椭圆轨道上运行周期为 T ₁ ，由开普勒第三定律得

卫星在轨道 Ⅱ 上运行的时间

联立解得： ．