我国预计在 2020 年左右发射 “ 嫦娥六号 ” 卫星.以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题,请你解答:
( 1 )若已知地球半径为 R ,地球表面的重力加速度为 g ,月球中心与地球中心间距离 r ,且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动,试求出月球绕地球运动的周期为 T ;
( 2 )若宇航员随 “ 嫦娥六号 ” 登陆月球后,站在月球表面以初速度 v 0 水平抛出一个小球,小球飞行一段时间 t 后恰好垂直地撞在倾角为 θ=37° 的的斜坡上,已知月球半径为 R 0 ,月球质量分布均匀,引力常量为 G ,试求月球的密度?( sin 37°=0.6 , cos 37°=0.8 )
( 1 ) ( 2 )
【详解】
( 1 )设地球的质量为 M ,月球的轨道半径为 r ,则根据万有引力提供向心力:
在地球表面有:
由以上两式得 .
( 2 )设月球表面的重力加速度为 ,设 MN 的长度为 L ,由斜面平抛运动规律得:
解得: .
在月球表面有:
由以上两式得:
解得月球的密度 .
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。以地球的质量的计算为例
①若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r,根据:
,得:;
②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r,根据:
,得:;
③若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T,根据:
和,得:;
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g,根据:
,得:——此式通常被称为黄金代换式。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
天体球体积:V=;天体密度:(由,,,r指球体半径,R指轨道半径,当R=r时,)。
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