若嫦娥三号卫星在离月球表面为 h 的空中沿圆形轨道绕月球飞行,周期为 T. 若月球半径 r ,引力常量为 G. 试推导:
( 1 )月球的质量表达式;
( 2 )月球表面的重力加速度;
( 3 )月球的第一宇宙速度 .
( 1) ( 2) ( 3)
【解析】
试题分析: ( 1 )根据万有引力提供向心力,结合轨道半径和周期求出月球的质量.( 2 )根据万有引力等于重力求出月球表面的重力加速度.( 3 )根据重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小.
( 1 )嫦娥三号围绕月球做圆周运动时,有:
解得:
( 2 )根据万有引力等于重力得:
解得:
( 3) 在月球表面,根据万有引力提供向心力得:
解得:
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。以地球的质量的计算为例
①若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r,根据:
,得:;
②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r,根据:
,得:;
③若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T,根据:
和,得:;
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g,根据:
,得:——此式通常被称为黄金代换式。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
天体球体积:V=;天体密度:(由,,,r指球体半径,R指轨道半径,当R=r时,)。
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