如图所示，曲线I是一颗绕地球做圆周运动的

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必修2 第七章万有引力与宇宙航行

万有引力理论的成就

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更新时间：2021-03-22

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如图所示，曲线 I 是一颗绕地球做圆周运动的卫星轨道的示意图，其半径为 R ；曲线 Ⅱ 是一颗绕地球做椭圆运动的卫星轨道的示意图， O 点为地球球心， AB 为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为 G ，地球质量为 M ，下列说法正确的是（）

A ．椭圆轨道的长轴长度为 2R

B ．卫星在 I 轨道的速率为，卫星在 Ⅱ 轨道 B 点的速率为，则 >

C ．卫星在 I 轨道的加速度大小为，卫星在 Ⅱ 轨道 A 点加速度大小为，则 <

D ．若 OA=0.5R ，则卫星在 B 点的速率 >

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知识点：万有引力理论的成就

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【答案】

ABC

【详解】

A. 有开普勒第三定律可得：，因为周期相等，所以半长轴相等，圆轨道可以看成长半轴、短半轴都为椭圆，故，即椭圆轨道的长轴的长度为．故 A 正确．

B. 根据万有引力提供向心力可得：，故，由此可知轨道半径越大，线速度越小；设卫星以为半径做圆周运动的速度为，那么；又卫星 Ⅱ在 B 点做向心运动，所以有，综上有．故 B 正确．

C. 卫星运动过程中只受到万有引力的作用，故有：，所以加速度为，又有 , 所以．故 C 正确．

D. 若，则，那么，所以．故 D 错误．

考点梳理:

根据可圈可点权威老师分析，试题“ ”主要考查你对计算天体质量与密度等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下：

◎ 计算天体质量与密度的定义

计算天体质量与密度：

1、用万有引力定律求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度：通过观测天体表面运动卫星的周期T，就可以求出天体的密度ρ。

◎ 计算天体质量与密度的知识扩展

1、用万有引力定律求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。以地球的质量的计算为例
①若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r，根据：

，得：

；
②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r，根据：

，得：

；
③若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T，根据：

和

，得：

；
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据：

，得：

——此式通常被称为黄金代换式。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度：通过观测天体表面运动卫星的周期T，就可以求出天体的密度ρ。
天体球体积：V=

；天体密度：

（由

，

，r指球体半径，R指轨道半径，当R=r时，

）。

◎ 计算天体质量与密度的相关定理

计算天体质量与密度：

1、用万有引力定律求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。以地球的质量的计算为例
①若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r，根据：
，得：；
②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r，根据：
，得：；
③若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T，根据：
和，得：；
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据：
，得：——此式通常被称为黄金代换式。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度：通过观测天体表面运动卫星的周期T，就可以求出天体的密度ρ。
天体球体积：V=；天体密度：（由，，，r指球体半径，R指轨道半径，当R=r时，）。

◎ 计算天体质量与密度的知识点拨

知识点拨：
科学真是迷人.地球、太阳等天体的质量是多少?天平无法测量.但在我们学习了万有引力定律之后,我们便可以通过它来"称量".求天体质量和密度方法：在地面附近万有引力近似等于物体的重力.由于地球的自转,因而地球表面上的物体随地球自转时需要向心力.所以重力实际上只是万有引力的一个分力,另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力,这个分力与万有引力相比很小忽略不计,可近似认为万有引力等于物体的重力。

◎ 计算天体质量与密度的教学目标

1、了解万有引力定律的重要应用。
2．会用万有引力定律计算天体的质量。
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动等知识分析具体问题的基本方法。
4、通过求解太阳、地球的质量，培养学生理论联系实际的能力。
5、利用万有引力定律可以发现未知天体，让学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点。

◎ 计算天体质量与密度的考试要求

能力要求：应用
课时要求：120
考试频率：常考
分值比重：4

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地球同步卫星到地心的距离r可由求出，已知式中a的单位是m，b的单位是S，c的单位是m/s²，则

A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度

B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度

C．a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的车速度

D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度

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例：这名“漂浮”在空中的宇航员相对地球是运动还是静止的？

（1）。

（2）。

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