中国已经开发出了低轨道太空测试设备,目前安装在了天宫二号上进行测试,处于领先地位。若能将飞行器 P 送到火星附近使其绕火星做匀速圆周运动。如图所示,火星相对飞行器的张角为 θ ,火星半径为 R ,飞行器绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为 r ,已知万有引力常量为 G 。下列说法正确的是
A . 若测得飞行器周期和火星半径 R ,可求得到火星的质量
B . 若测得飞行器周期和轨道半径 r ,可求得到火星的质量
C . 若测得飞行器周期和张角 θ ,可求得到火星的质量
D . 若测得飞行器周期和张角 θ ,可求得到火星的平均密度
BD
【解析】 设星球的质量为 M ,半径为 R ,平均密度为 ρ .飞行器的质量为 m ,轨道半径为 r ,周期为 T 。对于飞行器,根据万有引力提供向心力得: 所以: M= ,所以若测得飞行器周期和轨道半径 r ,可得到火星的质量 , 选项 B 正确。又由几何关系得: R=rsin , 所以: .若测得飞行器周期、火星半径 R 和张角 θ ,可得到火星的质量。选项 AC 错误 ; 星球的平均密度 ,知测得周期和张角,可得到星球的平均密度。故 D 正确;故选 BD。
点睛 : 本题关键掌握万有引力定律和万有引力等于向心力这一基本思路,结合几何知识列出表达式进行解题.
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。以地球的质量的计算为例
①若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r,根据:
,得:;
②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r,根据:
,得:;
③若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T,根据:
和,得:;
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g,根据:
,得:——此式通常被称为黄金代换式。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
天体球体积:V=;天体密度:(由,,,r指球体半径,R指轨道半径,当R=r时,)。
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