宇航员飞到一个被稠密气体包围的某恒星上进行科学探索。他站在该恒星表面,从静止释放一个质量为 m 的物体,由于气体阻力,其加速度 a 随下落位移 x 变化的关系图象如图所示。已知该星球半径为 R ,万有引力常量为 G 。下列说法正确的是( )
A . 该恒星的平均密度为
B . 该恒星的第一宇宙速度为
C . 卫星在距该恒星表面高 h 处的圆轨道上运行的周期为
D . 从释放到速度刚达最大的过程中,物体克服阻力做功
BD
【详解】
A . 物体下落的位移 时 ,空气阻力也为 0,由图可知, 就是恒星上的重力加速度。在恒星表面,根据重力等于万有引力,可得
所以恒星的质量
再由球体的体积公式
解得恒星的平均密度为
A 错误;
B .由万有引力提供向心力得
解得
B 正确;
C .由万有引力提供向心力得
解得卫星在距该恒星表面高 h 处的圆轨道上运行的周期为
C 错误;
D .因为物体由静止下落,初速度为零,根据加速度 a 随下落位移 x 变化的关系图象围成的面积表示速度平方的一半,得
再根据动能定理
解得
D 正确;
故选 BD .
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。以地球的质量的计算为例
①若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r,根据:
,得:;
②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r,根据:
,得:;
③若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T,根据:
和,得:;
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g,根据:
,得:——此式通常被称为黄金代换式。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
天体球体积:V=;天体密度:(由,,,r指球体半径,R指轨道半径,当R=r时,)。
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