在星球 M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体 P 轻放在弹簧上端, P 由静止向下运动,物体的加速度 a 与弹簧的压缩量 x 间的关系如图中实线所示.在另一星球 N 上用完全相同的弹簧,改用物体 Q 完成同样的过程,其 a–x 关系如图中虚线所示,假设两星球均为质量均匀分布的球体.已知星球 M 的半径是星球 N 的 3 倍,则
A . M 与 N 的密度相等
B . Q 的质量是 P 的 3 倍
C . Q 下落过程中的最大动能是 P 的 4 倍
D . Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是 P 的 4 倍
AC
【详解】
A 、由 a-x 图象可知,加速度沿竖直向下方向为正方向,根据牛顿第二定律有: ,变形式为: ,该图象的斜率为 ,纵轴截距为重力加速度 .根据图象的纵轴截距可知,两星球表面的重力加速度之比为: ;又因为在某星球表面上的物体,所受重力和万有引力相等,即: ,即该星球的质量 .又因为: ,联立得 .故两星球的密度之比为: ,故 A 正确;
B 、当物体在弹簧上运动过程中,加速度为 0 的一瞬间,其所受弹力和重力二力平衡, ,即: ;结合 a-x 图象可知,当物体 P 和物体 Q 分别处于平衡位置时,弹簧的压缩量之比为: ,故物体 P 和物体 Q 的质量之比为: ,故 B 错误;
C 、物体 P 和物体 Q 分别处于各自的平衡位置( a=0 )时,它们的动能最大;根据 ,结合 a-x 图象面积的物理意义可知:物体 P 的最大速度满足 ,物体 Q 的最大速度满足: ,则两物体的最大动能之比: , C 正确;
D 、物体 P 和物体 Q 分别在弹簧上做简谐运动,由平衡位置( a=0 )可知,物体 P 和 Q 振动的振幅 A 分别为 和 ,即物体 P 所在弹簧最大压缩量为 2 ,物体 Q 所在弹簧最大压缩量为 4 ,则 Q 下落过程中,弹簧最大压缩量时 P 物体最大压缩量的 2 倍, D 错误;
故本题选 AC .
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
计算天体质量与密度:
1、用万有引力定律求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R,就可以求出天体的质量M。以地球的质量的计算为例
①若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r,根据:
,得:;
②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r,根据:
,得:;
③若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T,根据:
和,得:;
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g,根据:
,得:——此式通常被称为黄金代换式。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度:通过观测天体表面运动卫星的周期T,就可以求出天体的密度ρ。
天体球体积:V=;天体密度:(由,,,r指球体半径,R指轨道半径,当R=r时,)。
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