如图所示，一倾角为的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v₀与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

(1)求P与Q第一次碰撞后瞬间各自的速度大小v_P1、v_Q1；

(2)求第n次碰撞使物块Q上升的高度h_n；

(3)求物块Q从A点上升的总高度H；

(4)为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞，求A点与挡板之间的最小距离s。

答案

(1) P的速度大小为，Q的速度大小为；(2)（n=1，2，3……）；(3)；(4)

【解析】

(1)P与Q的第一次碰撞，取P的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得

            ①

由机械能守恒定律得

        ②

联立①②式得

            ③

            ④

故第一次碰撞后P的速度大小为，Q的速度大小为

(2)设第一次碰撞后Q上升的高度为h₁，对Q由运动学公式得

        ⑤

联立①②⑤式得

            ⑥

设P运动至与Q刚要发生第二次碰撞前的位置时速度为，第一次碰后至第二次碰前，对P由动能定理得

        ⑦

联立①②⑤⑦式得

            ⑧

P与Q的第二次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为、，由动量守恒定律得

    ⑨

由机械能守恒定律得

        ⑩

联立①②⑤⑦⑨⑩式得

            ⑪

            ⑫

设第二次碰撞后Q上升的高度为h₂，对Q由运动学公式得

        ⑬

联立①②⑤⑦⑨⑩⑬式得

    ⑭

设P运动至与Q刚要发生第三次碰撞前的位置时速度为，第二次碰后至第三次碰前，对P由动能定理得

        ⑮

联立①②⑤⑦⑨⑩⑬⑮式得

            ⑯

P与Q的第三次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为、，由动量守恒定律得

            ⑰

由机械能守恒定律得

        ⑱

联立①②⑤⑦⑨⑩⑬⑮⑰⑱式得

            ⑲

            ⑳

设第三次碰撞后Q上升的高度为h₃，对Q由运动学公式⑩得

        ㉑

联立①②⑤⑦⑨⑩⑬⑮⑰⑱㉑式得

            ㉒

总结可知，第n次碰撞后，物块Q上升的高度为

（n=1，2，3……）        ㉓

(3)当P、Q达到H时，两物块到此处的速度可视为零，对两物块运动全过程由动能定理得

    ㉔

解得

            ㉕

(4)设Q第一次碰撞至速度减为零需要的时间为t₁，由运动学公式得

            ㉖

设P运动到斜面底端时的速度为，需要的时间为t₂，由运动学公式得

            ㉗

        ㉘

设P从A点到Q第一次碰后速度减为零处匀减速运动的时间为t₃

            ㉙

当A点与挡板之间的距离最小时

            ㉚

联立㉖㉗㉘㉙㉚式，代入数据得

            ㉛