如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S₁、S₂，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U₀，周期为T₀．在t=0时刻将一个质量为m电量为﹣q（q＞0）的粒子由S₁静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在时刻通过S₂垂直于边界进入右侧磁场区．（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）

（1）求粒子到达S₂时的速度大小v和极板间距d；

（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件．

（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t=3T₀时刻再次到达S₂，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小．

答案

考点：

带电粒子在匀强磁场中的运动；牛顿第二定律；向心力；带电粒子在匀强电场中的运动．

专题：

压轴题；带电粒子在磁场中的运动专题．

分析：

（1）粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，电场力做功等于粒子动能的增加；

（2）使粒子不与极板相撞，则运动的半径大于；

（3）粒子在t=3T₀时刻再次到达S₂，且速度恰好为零，则从s₁再次进入电场时的时刻是，粒子从左向右应是水平匀速穿过无场区，距离为d，根据匀速运动的规律求得时间，粒子在左右磁场中的时间是相等的，粒子在左右磁场中的时间是相等的且都是半个周期，所以粒子运动的总时间是一个周期，即t′=T；然后根据洛伦兹力提供向心力，即可求得磁感应强度．

解答：

解：（1）粒子在匀强电场中电场力做功等于粒子动能的增加，得：

代入数据，得：

又：，

联立以上两式，得：

（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：，

得：

使粒子不与极板相撞，则运动的半径

联立以上两式，得：

（3）粒子在t=3T₀时刻再次到达S₂，且速度恰好为零，根据运动的对称性，则从s₁再次进入电场时的时刻是；

粒子从左向右应是水平匀速穿过无场区，距离为d，时间为：

粒子在左右磁场中的时间是相等的，粒子在磁场中运动的总时间：

粒子在左右磁场中的时间是相等的且都是半个周期，所以粒子运动的总时间是一个周期，即t′=T；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：

，vT=2πr

联立以上公式得：．

答：（1）粒子到达S₂时的速度和极板间距；

（2）磁感应强度的大小应满足的条件；

（3）粒子在磁场内运动的时间，磁感应强度的．

点评：

该题中粒子在左右磁场中的时间是相等的，在电场中加速和减速的时间也是相等的，是这解题的关键．该题解题的过程复杂，公式较多，容易在解题的过程中出现错误．属于难度大的题目．