如图所示,固定于水平桌面上的光滑平行金属导轨AB、CD处于竖直向下的范围足够大的匀强磁场中,导轨间距为L,导轨电阻忽略不计。导轨的左端接有阻值为R的电阻。一根质量为m,电阻为r的金属棒MN垂直导轨放置且与导轨接触良好,并始终以速度v向右匀速运动。
⑴若磁场的磁感应强度大小为B0且保持不变时,求:
a.回路中的感应电流的大小;
b.金属杆受到的安培力大小及方向;
⑵当金属棒MN到达图中虚线位置时,恰好使ACNM构成一个边长为L的正方形回路,从此时刻开始计时,并改变磁感应强度大小,可使回路中不产生感应电流,请你推导磁感应强度B随时间t变化的关系式。
(1)a.导体棒中产生的感应电动势E =B0 Lv
回路中的感应电流的大小 解得……5 分
b.金属杆受到的安培力大小 安培力方向:水平向左……2 分
(2)若使 ACNM 回路中不产生感应电流,磁通量保持不变即可,有
解得………3 分
北京赢得了2022年第二十四届冬季奥林匹克运动会的举办权,引得越来越多的体育爱好者参加滑雪运动。如图所示,某滑雪场的雪道由倾斜部分AB段和水平部分BC段组成,其中倾斜雪道AB的长L=25 m,顶端高H=15 m,滑雪板与雪道间的动摩擦因数μ=0.25。滑雪爱好者每次练习时均在倾斜雪道的顶端A处以水平速度飞出,落到雪道时他靠改变姿势进行缓冲,恰好可以使自己在落到雪道前后沿雪道方向的速度相同。不计空气阻力影响,取重力加速度g=10m/s2。
(1)第一次滑雪爱好者水平飞出后经t1=1.5s落到雪道上的D处(图中未标出),求水平初速度v1及A、D之间的水平位移x1。
(2)第二次该爱好者调整水平初速度,落到雪道上的E处(图中未标出),已知A、E之间的水平位移为x2,且,求该爱好者落到雪道上的E处之后的滑行距离s。
(3)该爱好者在随后的几次练习中都落在雪道的AB段,他根据经验得出如下结论:在A处水平速度越大,落到雪道前瞬时的速度越大,速度方向与雪道的夹角也越大。他的观点是否正确,请你判断并说明理由。
滑雪爱好者自 A处以水平速度飞出后,可能落在AB 段,也可能落在BC 段。
(1)设滑雪爱好者落在雪道的水平部分 BC 段所用时间为 t0,根据平抛规律 解得
由此可知,滑雪爱好者水平飞出后经 t1=1.5s 落在雪道的倾斜部分 AB 段。
根据平抛规律 解得 A、D 之间的水平位移 解得
(2)设此次爱好者水平初速度 v2,由 ,可知,由此可判断此次滑雪爱好者水平飞出后落在雪道的水平部分 BC 段。 由平抛规律 解得
之后爱好者在水平雪道上匀减速滑行, 由动能定理有
解得该爱好者落到雪道上的 E 处之后的滑行距离 s=45 m
(3)他的观点不正确。正确观点是:在 A 处水平速度越大,落到雪道前瞬时速度越大,而速度方向与雪道夹角相同。
设爱好者水平初速度 由平抛规律,落到AB段均满足
解得由此可知:越大,运动时间t越长
落到雪道前瞬时速度大小,越大,落点速度越大
速度方向与水平方向夹角为,,速度方向与无关。………4 分
一根足够长的空心铜管竖直放置,使一枚直径略小于铜管内径、质量为m0的圆柱形强磁铁从管内某处由静止开始下落,如图1所示,它不会做自由落体运动,而是非常缓慢地穿过铜管,在铜管内下落时的最大速度为v0。强磁铁在管内运动时,不与铜管内壁发生摩擦,空气阻力也可以忽略。产生该现象的原因是变化的磁场在铜管内激发出了涡流,涡流反过来又对强磁铁产生了很大的阻力。虽然该情景中涡流的定量计算非常复杂,我们不需要求解,却仍然可以用我们学过的知识来对下述问题进行分析。
(1)求图1中的强磁铁达到最大速度后铜管的热功率P0;
(2)强磁铁下落过程中,可以认为铜管中的感应电动势大小与强磁铁下落的速度成正比,且强磁铁周围铜管的有效电阻是恒定的。由此分析,如果在图甲中强磁铁的上面粘一个质量为m1的绝缘橡胶块,则强磁铁下落的最大速度v1是多大?
(3)若已知强磁铁下落过程中的任一时刻,强磁铁机械能耗散的功率等于其受到的阻力大小与下落速度大小的乘积。则在图1中,质量为m0的强磁铁从静止下落,经过时间t后达到最大速度v0,求此过程强磁铁的下落高度h;
(4)若将空心铜管切开一条竖直狭缝,如图2所示,强磁铁还从管内某处由静止开始下落,发现强磁铁的下落还是会明显慢于自由落体运动,请你分析这一现象的原因。
(1)磁铁匀速下落过程中,可以认为减少的重力势能全部转化为热
P0 t =m0 gv0 t 可得P0 =m0 gv0………2 分
(2)由于强磁铁下落过程中铜管中的感应电动势大小 E 与磁铁下落的速度 v 成正比,且其周围 铜管的有效电阻 R 是恒定的,可知任一时刻的热功率 ①
强磁铁下落过程中② 可得③ 所以有……4 分
(3)设强磁铁下落过程中的很短时间 t 内所受电磁阻力大小为 f
根据动量定理有④ 又有⑤ 所以有
设,其中 k 为常量⑥ 强磁铁匀速下落时 ⑦
由④⑥⑦式,有 ⑧ 对于全过程有…⑨
得……4 分
(4)因为此时铜管中仍然会产生涡流,涡流的磁场对强磁铁有阻力作用。 …………2 分
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