天宫二号在距地面h高度处绕地球做匀速圆周运动。2016年10月19日,神舟十一号飞船发射成功,与天宫二号空间站圆满完成自动交会对接。已知地球质量为M,半径为R,引力常量为G。
(1)求天宫二号在轨运行线速度v的大小;
(3)若天宫二号在轨运行周期T = 90分钟,在赤道上空由西向东运动。请结合计算,分析说明天宫二号中的航天员在24小时之内大约能看到几次日出。
解:(1)设天宫二号质量为m,根据万有引力定律和牛顿第二定律
万有引力提供向心力 (2分)
解得线速度 (1分)
(2)根据周期公式 或 (2分)
解得周期 (1分)
(3)一天之内,可认为地球相对于太阳的位置近似不变,所以天宫二号绕行地球一周,可看到1次日出。因为在24小时之内天宫二号绕地球的圈数圈,所以一天之内大约能看到16次日出。 (3分)
利用电场和磁场来控制带电粒子的运动,在现代科学实验和技术设备中有广泛的应
用。如图1所示为电子枪的结构示意图,电子从炽热的金属丝发射出来,在金属丝和金属板之间加以电压U0,发射出的电子在真空中加速后,沿电场方向从金属板的小孔穿出做直线运动。已知电子的质量为m,电荷量为e,不计电子重力及电子间的相互作用力。设电子刚刚离开金属丝时的速度为零。
(1)求电子从金属板小孔穿出时的速度v0的大小;
(2)示波器中的示波管是利用电场来控制带电
粒子的运动。如图2所示,Y和Y′为间距为d的两个偏转电极,两板长度均为L,极板右侧边缘与屏相距x, O O′为两极板间的中线并与屏垂直,O点为电场区域的中心点。接(1),从金属板小孔穿出的电子束沿O O′射入电场中,若两板间不加电场,电子打在屏上的O′点。为了使电子打在屏上的P点, P与O′相距h,已知电子离开电场时速度方向的反向延长线过O点。则需要在两极板间加多大的电压U;
(3)电视机中显像管的电子束偏转是用磁场来控制的。如
图3所示,有一半径为r的圆形区域,圆心a与屏相距l,b是屏上的一点,ab与屏垂直。接(1),从金属板小孔穿出的电子束沿ab方向进入圆形区域,若圆形区域内不加磁场时,电子打在屏上的b点。为了使电子打在屏上的c点,c与b相距l,则需要在圆形区域内加垂直于纸面的匀强磁场。求这个磁场的磁感应强度B的大小。
解:(1)电子在电场中运动,根据动能定理
(2分)
解得电子穿出小孔时的速度 (1分)
(2)电子进入偏转电场做类平抛运动,在垂直于极板方向做匀加速直线运动。设电子刚离开电场时垂直于极板方向偏移的距离为y
根据匀变速直线运动规律
根据牛顿第二定律
电子在水平方向做匀速直线运动 L = v0t
联立解得 (2分)
由图可知 (1分)
解得 (1分)
(3)电子以速度v0在磁场中沿圆弧AB运动,圆心为D,半径
为R,如右图所示。
洛仑兹力提供向心力有 (1分)
电子离开磁场时偏转角度为θ,由图可知
(1分)
(1分)
联立解得 (1分)
如图1所示,水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ,两导轨间距为l,电阻均可忽略不计。在M和P之间接有阻值为R的定值电阻,导体杆ab质量为m、电阻为r,并与导轨接触良好。整个装置处于方向竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0,使杆向右运动。
(1)当ab杆刚好具有初速度v0时,求此时ab杆两端的电压U,a、b两端哪端电势高;
(2)请在图2中定性画出通过电阻R的电流i随时间变化规律的图象;
(3)若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器,如图3所示。同样给ab杆一个初速度v0,使杆向右运动。请分析说明ab杆的运动情况,并推导证明杆稳定后的速度为 。
解:(1)ab杆切割磁感线产生感应电动势 E = Blv0 (1分)
根据全电路欧姆定律
ab杆两端电压即路端电压 (1分)
联立解得 a端电势高 (2分)
(2) (3分)
(3)分析:当ab杆以初速度0开始切割磁感线时,产生感应电动势,电路开始给电容器充电,有电流通过ab杆,杆在安培力的作用下做减速运动,随着速度减小,安培力减小,加速度也减小,杆做加速度减小的减速运动。当电容器两端电压与感应电动势相等时,充电结束,杆以恒定的速度做匀速直线运动。
推导证明:当电容器两端电压与感应电动势相等时有U=Blv
根据电容器电容
以ab杆为研究对象,在很短的一段时间△t内,杆受到的冲量大小为BIl△t
从ab杆开始运动至速度达到稳定的过程,根据动量定理
∑-BIl△t = -BlQ = mv – mv0
由①②③联立可得 (4分)
某同学设计了一个测量物体质量的电子装置,其结构如图甲、乙所示。E形磁铁的两侧为S极,中心为N极,可认为只有磁极间存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场。一边长为L横截面为正方形的线圈套于中心磁极,线圈、骨架与托盘连为一体,总质量为m0,托盘下方连接一个轻弹簧,弹簧下端固定在磁极上,支撑起上面的整个装置,线圈、骨架与磁极不接触。线圈的两个头与外电路连接(图上未标出)。当被测量的重物放在托盘上时,弹簧继续被压缩,托盘和线圈一起向下运动,之后接通外电路对线圈供电,托盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止,此时由对应的供电电流可确定重物的质量。已知弹簧劲度系数为k,线圈匝数为n,重力加速度为g。
(1)当线圈与外电路断开时
a. 以不放重物时托盘的位置为位移起点,竖直向下为位移的正方向。试在图丙中画出,托盘轻轻放上质量为m的重物后,托盘向下运动过程中弹簧弹力F的大小与托盘
位移x的关系图象;
b.根据上面得到的F-x图象,求从托盘放上质量为m
的重物开始到托盘达到最大速度的过程中,弹簧弹力所做的功W;
(2)当线圈与外电路接通时
a.通过外电路给线圈供电,托盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止。若线圈能
够承受的最大电流为I,求该装置能够测量的最大质量M;
b.在线圈能承受的最大电流一定的情况下,要增大质量的测量范围,可以采取哪些
措施?(至少答出2种)
解:(1)a. 未放重物时,弹簧已经被压缩,弹力大小为m0g。
弹簧弹力F的大小与托盘位移x的关系图象如
图所示。 (3分)
b. 未放重物时 kx0 = m0 g
当托盘速度达到最大时
k ( x0 + x ) = ( m0 + m )g
解得
图中阴影部分面积即为从托盘放上质量
为m的重物开始到托盘达到最大速度的
过程中,弹力所做的功的大小,弹力做负功有
(3分)
(2)a.给线圈供电后,托盘回到原来的位置,线圈、骨架、托盘与重物处于平衡状态
有 2nBIL + kx0 = (m0 + M ) g (2分)
解得 (1分)
b.要增大此电子装置的量程,可以增加线圈的匝数、增大线圈的边长、增大磁感应强度。 (3分)
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