在星球 M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体 P 轻放在弹簧上端, P 由静止向下运动,物体的加速度 a 与弹簧的压缩量 x 间的关系如图中实线所示.在另一星球 N 上用完全相同的弹簧,改用物体 Q 完成同样的过程,其 a–x 关系如图中虚线所示,假设两星球均为质量均匀分布的球体.已知星球 M 的半径是星球 N 的 3 倍,则
A . M 与 N 的密度相等
B . Q 的质量是 P 的 3 倍
C . Q 下落过程中的最大动能是 P 的 4 倍
D . Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是 P 的 4 倍
AC
【详解】
A 、由 a-x 图象可知,加速度沿竖直向下方向为正方向,根据牛顿第二定律有: ,变形式为: ,该图象的斜率为 ,纵轴截距为重力加速度 .根据图象的纵轴截距可知,两星球表面的重力加速度之比为: ;又因为在某星球表面上的物体,所受重力和万有引力相等,即: ,即该星球的质量 .又因为: ,联立得 .故两星球的密度之比为: ,故 A 正确;
B 、当物体在弹簧上运动过程中,加速度为 0 的一瞬间,其所受弹力和重力二力平衡, ,即: ;结合 a-x 图象可知,当物体 P 和物体 Q 分别处于平衡位置时,弹簧的压缩量之比为: ,故物体 P 和物体 Q 的质量之比为: ,故 B 错误;
C 、物体 P 和物体 Q 分别处于各自的平衡位置( a=0 )时,它们的动能最大;根据 ,结合 a-x 图象面积的物理意义可知:物体 P 的最大速度满足 ,物体 Q 的最大速度满足: ,则两物体的最大动能之比: , C 正确;
D 、物体 P 和物体 Q 分别在弹簧上做简谐运动,由平衡位置( a=0 )可知,物体 P 和 Q 振动的振幅 A 分别为 和 ,即物体 P 所在弹簧最大压缩量为 2 ,物体 Q 所在弹簧最大压缩量为 4 ,则 Q 下落过程中,弹簧最大压缩量时 P 物体最大压缩量的 2 倍, D 错误;
故本题选 AC .
卫星 A 、 B 的运行方向相同,其中 B 为近地卫星.某时刻,两卫星相距最近 (O 、 B 、 A 在同一直线上 ) .已知地球半径为 R ,卫星 A 离地心 O 的距离是卫星 B 离地心 O 距离的 4 倍,地球表面的重力加速度为 g ,则 ( )
A . 卫星 A 、 B 运行的加速度大小之比
B . 卫星 A 、 B 运行的周期之比
C . 卫星 A 、 B 运行的线速度大小之比
D . 卫星 A 、 B 至少要经过时间 ,两者再次相距最近
CD
【解析】
A 、万有引力提供向心力: ,解得: ,则 ,故 A 错误;
B 、万有引力提供向心力: ,解得: ,则 ,故 B 错误;
C 、万有引力提供向心力: ,解得: ,则 ,故 C 正确;
D 、 B 的角速度 , A 的角速度 ,又 ,设经过时间 t 再次相距最近: ,解得: ,则 D 正确.
如图所示,设地球半径为 R ,假设某地球卫星在距地球表面高度为 h 的圆形轨道 Ⅰ上做匀速圆周运动,运行周期为 T ,到达轨道的 A 点时点火变轨进入椭圆轨道 Ⅱ,到达轨道的近地点 B 时,再次点火进入近地轨道 Ⅲ绕地做匀速圆周运动,引力常量为 G ,不考虑其他星球的影响,则下列说法正确的是
A . 地球的质量可表示为
B . 该卫星在轨道 Ⅲ上 B 点的速率大于在轨道 Ⅱ上 A 点的速率
C . 卫星在圆轨道 Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时,轨道Ⅰ上动能小,引力势能大,机械能小
D . 卫星从远地点 A 向近地点 B 运动的过程中,加速度变小
AB
【详解】
A 、在轨道 I 上运动过程中,万有引力充当向心力,故有 ,解得 ,故选项 A 正确;
B 、在轨道 Ⅰ 的 A 点需要减速做近心运动才能进入轨道 Ⅱ ,所以在在轨道 Ⅱ 上 A 点速率小于在轨道 Ⅰ 上 A 点的速率,根据 可得 ,可知在轨道 III 上 B 点速率大于在轨道 Ⅰ 上 A 点的速率,所以该卫星在轨道 Ⅲ 上 B 点的速率大于在轨道 Ⅱ 上 A 点的速率,故选项 B 正确;
C 、从 B 运动到 A 的过程中只受到地球引力作用,引力做负功,势能增加,由于轨道 III 上的速度大于在轨道 Ⅰ 的速度,所以动能减小,由于在轨道 Ⅲ 上 B 点点火加速机械能增加,在轨道 Ⅱ 上 A 点点火加速机械能增加,所以机械能增加,故选项 C 错误;
D 、根据公式 可得 ,所以轨道半径越大,向心加速度越小,故卫星从远地点 A 向近地点 B 运动的过程中,轨道变小,加速度变大,故选项 D 错误.
故选 AB .
如图所示 , 飞行器 绕某星球做匀速圆周运动 , 星球相对飞行器的张角为 , 下列说法正确的是 ( )
A . 轨道半径越大 , 周期越长
B . 轨道半径越大 , 速度越大
C . 若测得周期和轨道半径 , 可得到星球的平均密度
D . 若测得周期和张角 , 可得到星球的平均密度
AD
【详解】
根据开普勒第三定律 =k ,可知轨道半径越大,飞行器的周期越长.故 A 正确;根据卫星的速度公式 ,可知轨道半径越大,速度越小,故 B 错误;设星球的质量为 M ,半径为 R ,平均密度为, ρ .张角为 θ ,飞行器的质量为 m ,轨道半径为 r ,周期为 T .对于飞行器,根据万有引力提供向心力得: ,由几何关系有: R=rsin ;星球的平均密度 ,联立以上三式得: ,则测得周期和张角,可得到星球的平均密度.若测得周期和轨道半径,不可得到星球的平均密度,故 C 错误, D 正确;故选 AD.
2018 年 7 月 25 日,科学家们在火星上发现了一个液态水湖,这表明火星上很可能存在生命.若一质量为 m 的火星探测器在距火星表面高度为 h 的轨道上做匀速圆周运动,运行周期为 T , 已知火星半径为 R , 引力常量为 G , 则( )
A . 探测器的线速度
B . 火星表面重力加速度
C . 探测器的向心加速度
D . 火星的密度
AB
【解析】
探测器的线速度 , 选项 A 正确;对探测器: ,解得火星的质量: ;由 可得火星表面的重力加速度: ,选项 B 正确;根据 可知 , 测器的向心加速度: ,选项 C 错误;火星的密度 ,选项 D 错误;故选 AB.
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